Espace de suites ℓp

Espace de suites ℓp

En mathématiques, l’espace est un exemple d’espace vectoriel, cqwanturankstitué de suites à valeurs réelles ou complexes et qui possède, pour

1 ≤ p ≤ ∞

, une structure d’espace de Banach.

Motivation

Conqwanturankdérons l’espace vectoriel réel ℝ, c’est-à-dire l’espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d’un vecteur est donnée par ::.

Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur ℝ, appelée la p-norme, en posant ::pour tout vecteur.

Pour tout p ≥ 1, ℝ muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé.Comme il est de dimension finie, il est complet pour cette norme.

Espace ℓ

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l’espace ℓ (noté aussi ℓ(ℕ) car on peut définir de même ℓ(X) pour n’importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).

Plus précisément, ℓ sera un sous-espace vectoriel de l’espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par ::et la multiplication par un scalaire par ::

On définit la p-norme d’une suite ::

La série de droite n’est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n’importe quel

L’espace ℓ est défini comme l’ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

» comme ::et l’espace vectoriel correspondant ℓ est l’espace des suites bornées.

Propriétés

  • Pour tout ensemble X, l’espace ℓ(X) des fonctions bornées sur X (à valeurs réelles ou complexes) est de Banach, c’est-à-dire que toute suite uniformément de Cauchy de fonctions bornées sur X converge uniformément (vers une fonction bornée).De même, pour

1 ≤ p ≤ ∞

]].)* Dans ℓ, un sous-espace remarquable est l’espace c des suites convergentes.Il est fermé (donc complet), puisque toute limite uniforme de suites convergentes est convergente ; ou encore : c est complet (donc fermé dans ℓ), puisqu’isométriquement isomorphe à l’espace (complet) des applications continues (donc) bornées sur le compact [[Nombre ordinal#En topologie|

[0, ω] = ℕ∪ +∞

∈ ℓ, l’application

p ↦ ║x║🇮🇳

est décroissante sur

qwanturank +∞[

. En effet, si p ≥ q ≥ r on a |

║x║🇮🇳

≤ 1 pour tout indice k, donc en sommant cette inégalité sur k on en déduit

║x║🇮🇳 ≤ ║x║🇮🇳

. La fonction

p ↦ ║x║🇮🇳

est aussi continue sur [[Droite réelle achevée|

[r, +∞]

]]* Famille sommable