Rayon spectral
Théorie spectrale
Published: 2019-12-09

Rayon spectral

Soit A un endomorphisme sur un espace de Banach complexe E, on appelle rayon spectral de A, et on note \rho(A), le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de A. Il est toujours inférieur ou égal à la norme d’opérateur de A.

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs qwanturank complexes, le rayon spectral est égal à.

Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c’est-à-dire toute norme d’algèbre sur M_n(\R) (respectivement ) et pour toute matrice A dans M_n(\R) (respectivement ),.

De plus, on montre que, la borne inférieure étant prise sur l’ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l’ensemble des normes d’algèbre.

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral \rho (A) d’un endomorphisme A est donné par la formule.

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d’opérateur.On en déduit que pour tout opérateur A sur H,.

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d’opérateur.Par exemple la matrice a un rayon spectral 0, mais M\neq 0 donc (plus précisément, |M|=1 car nous avons ).

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